一篇文章讲透Dijkstra最短路径算法

Dijkstra最短路径算法是一种基于贪心策略的图算法，用于解决一个有权有向图或无向图中的最短路径问题。该算法由荷兰计算机科学家Edsger W. Dijkstra 在1956年发明并命名，其应用广泛，如网络路由、地图推荐、航空航运等领域。

算法原理：

Dijkstra算法维护了两个数据结构：

1. 一个包含所有未确定最短路径的节点集合Q。

2. 一个一字典形式存储每个节点到源节点的最短距离的哈希表。

初始时，源节点被置于Q中。然后对于这个源节点，将距离源节点最近的节点（称为当前节点）从Q中选出作为最短路径的一部分，并且进行以下操作：

1.对于临近节点，计算从当前节点到达它们时的距离；

2.如果这个距离小于该节点存储的最短路径，那么更新这个节点；

3.重复执行此操作，直到Q为空。

伪代码：

下面是Dijkstra算法的伪代码：

1. 初始化：对于所有节点s ∈ V ，若 s = s0, dist[s] = 0，否则 dist[s] =+ ∞

2. 将所有节点加入集合Q

3. 当集合Q不为空时，执行以下操作：

a. 选取一个s∈Q，使得dist[s]是当前最小值，从集合Q中删除s。

b. 对于每个连接到s的边，更新与该边所连的节点之间的距离：若dist[s] + length(s, v) < dist[v], 令dist[v] = dist[s] + length(s, v)。

4. 返回所有到达目标节点t的最短路径。

其中，V 是节点集合，length(s, v)表示从节点s到节点v的距离。最后，dist[s] 存储从源节点s到所有节点的最短路径长度。

算法实现：

Dijkstra算法实现的一般方式是使用一个优先队列（通常是最小堆）来存储未确定的最短路径，并根据当前最短路径的节点来更新距离和优先队列。在该实现中，优先队列在每次从中提取一个节点时，返回距离最小的节点。

Python代码：

以下是使用Python实现Dijkstra算法的代码：

```

import heapq

def dijkstra(graph, start):

pq = [] # 未确定最短路径的节点

heapq.heappush(pq, (0, start)) # 添加起始节点

visited = set() # 记录已访问的节点

while pq:

(distance, current_node) = heapq.heappop(pq)

if current_node in visited:

continue

visited.add(current_node)

for neighbor, weight in graph[current_node].items():

if neighbor not in visited:

new_distance = distance + weight

heapq.heappush(pq, (new_distance, neighbor))

return visited

```

该代码要求输入图形式的字典，其中每个键表示由其连接到的节点，每个值表示与该节点连接的边的权重（距离）。

案例说明：

1.寻找两个城市之间的最短路径

使用Dijkstra算法可以帮助我们找到两个城市之间的最短路径。例如，假设我们需要从北京到上海，我们可以使用Dijkstra算法找到连接这两个城市的最短路径。首先，我们需要将城市之间的距离存储在一个图中，并使用Dijkstra算法找到两个城市之间的最短路径。

以下是使用Python实现该任务的代码：

```

import heapq

def dijkstra(graph, start, end):

pq = []

heapq.heappush(pq, (0, start, [])) # 添加起始节点和路径

visited = set() # 记录已访问的节点

while pq:

(distance, current_node, path) = heapq.heappop(pq)

if current_node in visited:

continue

visited.add(current_node)

path = path + [current_node]

if current_node == end:

return path, distance

for neighbor, weight in graph[current_node].items():

if neighbor not in visited:

new_distance = distance + weight

heapq.heappush(pq, (new_distance, neighbor, path))

return [], -1

```

代码中的graph是一个包含节点之间距离的字典，start是起始节点，end是终止节点。函数返回包含最短路径和距离的元组。我们可以通过输入两个城市来使用该函数来找到它们之间的最短路径和距离。

以下是该代码的示例：

```

graph = {'北京': {'上海': 1064, '沈阳': 710, '太原': 520},

'上海': {'北京': 1064, '广州': 1052},

'沈阳': {'北京': 710},

'太原': {'北京': 520, '西安': 616},

'广州': {'上海': 1052},

'西安': {'太原': 616}}

path, distance = dijkstra(graph, '北京', '上海')

print('->'.join(path), distance)

```

输出：北京->上海 1064

2.寻找网络路由

Dijkstra算法可以用于网络路由，帮助确定最短路径以将数据包从源节点发送到目标节点。在网络路由中，节点代表路由器，边代表连通路线，而距离表示延迟或带宽。通常，一个网络被表示为一个有向图，使用Dijkstra算法可以轻松地寻找最短路径。

以下是使用Python实现该任务的代码：

```

import heapq

def dijkstra(graph, start):

pq = []

heapq.heappush(pq, (0, start))

visited = set()

while pq:

(distance, current_node) = heapq.heappop(pq)

if current_node in visited:

continue

visited.add(current_node)

for neighbor, weight in graph[current_node].items():

if neighbor not in visited:

new_distance = distance + weight

heapq.heappush(pq, (new_distance, neighbor))

return visited

graph = {'A': {'B': 2, 'C': 3, 'D': 2},

'B': {'E': 4},

'C': {'F': 1},

'D': {'C': 1, 'G': 2},

'E': {'H': 1},

'F': {'H': 3},

'G': {'H': 2},

'H': {}}

print(dijkstra(graph, 'A'))

```

在这个例子中，我们使用Dijkstra算法找到从节点A开始的最短路径，并返回到达每个节点所需的延迟。

结论：

Dijkstra算法是一种经典的图算法，它被广泛应用于各种领域，如地图推荐、网络路由、航空航运等。该算法基于贪心策略，采用优先队列将未确定最短路径的节点从最小距离开始排序。它的主要优点是找到了所有节点到源节点的最短路径，并且可以处理负权重边的情况。

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